欧几里得范数（Euclidean norm），也称为 2-范数 或 L2范数，是向量空间中衡量向量长度的一种方式。对于一个 $ n $-维向量 $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) $，其欧几里得范数定义为：

$$ \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} $$

欧几里得范数的用途

1、 衡量向量的长度：
欧几里得范数最直观的用途是计算向量在几何空间中的长度。例如，在二维或三维空间中，它对应的是点到原点的距离。

2、 距离度量：
在机器学习和数据科学中，欧几里得范数常用于计算两个向量之间的欧几里得距离（Euclidean distance），即：

$$ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|_2 = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} $$

这种距离度量广泛应用于聚类算法（如K-means）和相似性分析。

3、 优化问题：
在优化问题中，欧几里得范数常用于定义目标函数或约束条件。例如，最小二乘法（Least Squares）的目标是最小化误差的欧几里得范数。

4、 正则化：
在机器学习中，L2正则化（也称为岭回归）使用欧几里得范数来惩罚模型参数的复杂度，从而防止过拟合。

5、 几何和物理中的应用：
在几何学中，欧几里得范数用于定义向量的长度和角度；在物理学中，它用于计算力、速度等向量的模。

与其他范数的比较

  • L1范数（曼哈顿范数）：$ \|\mathbf{x}\|_1 = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| $，适用于稀疏性问题。
  • L∞范数（最大范数）：$ \|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|, \cdots, |x_n|) $，适用于极端值问题。

欧几里得范数因其几何意义和数学性质，在科学和工程中应用广泛。