L1范数倾向于产生稀疏解的原因在于它在优化问题中对非零元素的惩罚是线性的，而不是像L2范数那样对非零元素的惩罚是平方的。这种线性惩罚使得优化算法倾向于将一些系数压缩到零，从而产生稀疏解。

举例说明

假设我们有一个线性回归问题，目标是最小化以下损失函数：

$$ L(\mathbf{w}) = \frac{1}{2} \| \mathbf{y} - \mathbf{X} \mathbf{w} \|_2^2 + \lambda \| \mathbf{w} \|_1 $$

其中：

  • $\mathbf{y}$ 是目标向量，
  • $\mathbf{X}$ 是特征矩阵，
  • $\mathbf{w}$ 是权重向量，
  • $\lambda$ 是正则化参数，
  • $\| \mathbf{w} \|_1$ 是L1范数，即 $\sum_{i} |w_i|$。

1. L1范数的惩罚项

L1范数的惩罚项 $\lambda \| \mathbf{w} \|_1$ 对每个权重 $w_i$ 施加了一个线性惩罚 $\lambda |w_i|$。这意味着，如果某个权重 $w_i$ 的值很小，优化算法可能会选择将其直接设为零，以避免增加额外的惩罚。

2. 稀疏解的产生

假设我们有两个特征 $x_1$ 和 $x_2$，并且它们的权重分别为 $w_1$ 和 $w_2$。在优化过程中，如果 $w_1$ 对模型的贡献很小，L1范数的惩罚项会使得 $w_1$ 被压缩到零，而 $w_2$ 仍然保持非零。这样，最终的模型只依赖于 $x_2$，而 $x_1$ 被忽略，从而产生了一个稀疏解。

3. 对比L2范数

如果使用L2范数（即岭回归），惩罚项是 $\lambda \| \mathbf{w} \|_2^2 = \lambda \sum_{i} w_i^2$。L2范数对权重的惩罚是平方的，因此即使某个权重 $w_i$ 很小，它也不会被完全压缩到零，而是会被缩小到一个很小的值。因此，L2范数通常不会产生稀疏解。

总结

L1范数通过线性惩罚机制，倾向于将不重要的特征的权重压缩到零，从而产生稀疏解。这种特性在特征选择和高维数据分析中非常有用，因为它可以帮助我们识别出对模型最有贡献的特征。